Het energieverbruik van vervoer Vervoer

Een modelleeropdracht voor Natuurkunde in VWO bovenbouw

Het basismodel

Bij dit onderdeel zul je in tien stappen een model ontwerpen waarmee je het energieverbruik van een auto kunt berekenen. Per stap krijg je uitleg en wordt je aan de hand van deelvragen door het ontwerpproces geleid. Na het beantwoorden van elke vraag krijg je meteen feedback op jouw antwoord. En mocht je ergens vastlopen, dan kun je gebruikmaken van de beschikbare uitwerkingen. Daarnaast kun je altijd een vraag stellen via het contactformulier. Een belangrijke tip hierbij:

Probeer altijd eerst zelf of in overleg je model werkend te krijgen. Op deze manier snap je het model uiteindelijk beter en is het veel makkelijker om de onderdelen 2 (Analyse) en 3 (Uitbreiding) goed af te ronden. Dit is belangrijk, omdat je op deze laatste twee onderdelen beoordeeld wordt.

In de onderstaande video wordt de kwalitatieve inhoud van het basismodel besproken. Het is vervolgens aan jou de taak om hier in 10 stappen een kwantitatief model van te maken. Voordat je aan de slag gaat met de 10 ontwerpstappen, beginnen we met twee korte introductievragen over Coach.

Veel succes!

i. Verplaatsing met constante snelheid

Ontwerp in Coach een model waarin een auto met constante snelheid rijdt (download hier een leeg Coach-bestand). Gebruik hiervoor de Toestandsvariabelen $$$x$$$ en $$$v$$$, een Stroom en een Relatiepijl. Kies voor een beginpositie van $$$x = 0$$$ m en een constante snelheid van $$$v = 10$$$ m/s. Laat het model stoppen op $$$t = 10$$$ s. Laat ten slotte een $$$vt$$$-diagram en een $$$xt$$$-diagram onder elkaar zien. Nadat je het model hebt doorgerekend (Start (F9)), kun je een diagram netjes weergeven door de optie Automatisch Zoomen te gebruiken.

ii. Verplaatsing met constante versnelling

Breid het model uit stap (i) uit met een Toestandsvariabele $$$a$$$, een Stroom en een Relatiepijl. Kies voor de beginsnelheid nu $$$v = 0$$$ m/s en kies voor een constante versnelling van $$$a = 3$$$ m/s2. Stel de Stapgrootte in op $$$dt = 0,01$$$ s en let er vanaf nu goed op dat dit zo blijft.

Let op! Sla dit model apart op. Bij stap 3 heb je het weer nodig.

1. Aandrijving met constante kracht

In deze stap kun je verder bouwen op het Coach-bestand dat je had na stap (ii). Mocht dit niet helemaal gelukt zijn, dan kun je op de hier een uitgewerkt Coach-bestand downloaden.

Om met behulp van een constante resultante kracht $$$F_{\textrm{res}}$$$ een $$$xt$$$- en $$$vt$$$-diagram te kunnen maken, moet je weten op welke manier kracht $$$F_{\textrm{res}}$$$ de snelheid beïnvloedt.

Breid het model uit door twee Constanten toe te voegen: kracht $$$F_{\textrm{res}} = 4$$$ kN en massa $$$m = 1500$$$ kg. Zorg ervoor dat de versnelling op de goede manier afhangt van de twee nieuwe constanten. Hiervoor moet je van versnelling $$$a$$$ een Hulpvariabele maken. Laat ten slotte een $$$vt$$$-diagram en een $$$xt$$$-diagram onder elkaar zien.

Tijdens het optrekken levert de motor een bepaald vermogen. Het model kan uitgebreid worden om ook dit optrekvermogen, $$$P_{o}$$$, uit te rekenen.

Breid het model nu uit met de hulpvariabele "Optrekvermogen" en zorg ervoor dat dit vermogen $$$P_{o}$$$ op de goede manier wordt berekend. Laat ten slotte een $$$vt$$$-, een $$$xt$$$- en een $$$P_{o}t$$$-diagram onder elkaar zien.

In het $$$Pt$$$-diagram kun je zien dat bij een constante kracht het benodigde vermogen steeds groter moet zijn. In de werkelijkheid heeft een motor een beperkt vermogen. Hier ga je in het volgende stap mee verder.

2. Aandrijving met constant vermogen

Om een aandrijving met constant vermogen te modelleren, moet je weten op welke manier het optrekvermogen de beweging van de auto beïnvloedt.

Pas het model aan door van het vermogen $$$P_{o}$$$ een constante te maken: $$$P_{o} = 1500$$$ W (bv. via rechtermuisknop > "Naar Constante converteren") en van de aandrijvingskracht $$$F_{\textrm{res}}$$$ een hulpvariabele te maken. Zorg er vervolgens voor dat $$$F_{\textrm{res}}$$$ op de goede manier afhankelijk wordt van $$$P_{o}$$$ en $$$v$$$.

Als je dit model zou runnen, krijg je een foutmelding. Dit komt doordat de snelheid aan het begin 0 is en de aandrijvingskracht dus niet berekend kan worden (delen door nul mag niet). Selecteer, om dit op te lossen, in de Definitie van $$$F_{\textrm{res}}$$$ de optie Conditie gebruiken en stel deze conditie als volgt in: Als $$$t$$$>1 Dan $$$F_{\textrm{res}}=P_{o}/v$$$ Anders $$$F_{\textrm{res}}=1500$$$ N.

Pas de instellingen nu zo aan dat de eerste 20 minuten worden doorgerekend en geef het volledige $$$vt$$$-diagram weer. Het kan nu even duren voordat het hele model is doorgerekend.

Zoals je kunt zien wordt de snelheid steeds groter. De versnelling wordt steeds lager, maar de snelheid blijft logaritmisch toenemen. Dit betekent dat de snelheid niet convergeert naar een bepaalde eindwaarde. In werkelijheid is er sprake van wrijving waardoor de snelheid uiteindelijk niet verder kan stijgen. In onderdelen 6 en 7 ga je wrijving toevoegen. Voordat we daarmee aan de slag gaan, zullen we bekijken hoe we een parcours met vooraf vastgestelde snelheden kunnen instellen.

3. Eenvoudig $$$vt$$$-diagram

Een bestuurder van een auto wilt een bepaalde snelheid rijden. In veel gevallen wordt deze snelheid beperkt door de wettelijk vastgestelde maximumsnelheid. Hoe dan ook, het zou mooi zijn als in het model een parcours kan worden ingesteld aan de hand waarvan vervolgens het energiegebruik wordt berekend.

Gebruik het model dat je in stap (ii) hebt gebouwd als uitgangspunt. Maak van de versnelling een Hulpvariabele en gebruik een conditie die ervoor zorgt dat $$$a = 1$$$ m/s2 in de eerste 10 seconden en dat daarna geldt $$$a = -1$$$ m/s2. Laat het model runnen tot $$$t$$$ = 20 s. Bekijk ten slotte het volledige $$$vt$$$- en $$$xt$$$-diagram. Als het goed is, lijkt het $$$vt$$$-diagram op onderstaande figuur.

Figuur van een eenvoudig vt-diagram

4. Vermogen bij eenvoudig $$$vt$$$-diagram

Als je het parcours eenmaal gemodelleerd hebt, is de volgende stap om uit te rekenen hoeveel vermogen de motor moet leveren om dit parcours te rijden. Bij onderdelen 1 en 2 was de aandrijfkracht bekend en was het daarmee relatief eenvoudig om het vermogen te berekenen. In dit geval is de aandrijfkracht niet direct bekend.

Breid nu het model van stap (3) uit met vermogen $$$P_{o}$$$. Voeg hiervoor een Hulpvariabele $$$P_{o}$$$ en een Constante massa $$$m$$$ van 1500 kg toe. Definieer het vermogen op de goede manier en laat het $$$vt$$$- en $$$Pt$$$-diagram onder elkaar zien.

Zoals je kunt zien is het vermogen de eerste 10 s positief en wordt het daarna negatief. In de eerste 10 s zet de motor chemische energie (brandstof) om in kinetische energie (beweging). In de 10 s daarna wordt deze kinetische energie omgezet in warmte.

Energieverlies door remmen

Het antwoord op de laatste vraag zou eigenlijk "0 J" moeten zijn. Aangezien Coach niet algebraïsch rekent, maar met kleine tijdstapjes werkt, zit er een kleine afwijking in het antwoord. Los van deze kleine afwijking is het opmerkelijk dat er netto nauwelijks of geen energie nodig lijkt te zijn. Deze fout ontstaat doordat het negatieve vermogen als het ware weer terug in de motor wordt gestopt. In de praktijk kan de rem-energie helaas niet nuttig worden gebruikt.

Pas het model zo aan dat het een negatief vermogen niet meer mogelijk is, bijvoorbeeld door de volgende conditie toe te voegen: Als $$$a>0$$$ Dan $$$P_{o}=m \cdot a \cdot v$$$ Anders $$$P_{o}=0$$$.

5. Realistisch parcours

Het parcours ($$$vt$$$-diagram) uit onderdelen (3) en (4) is niet zo realistisch. Zelfs in een heel kort ritje, zal een bestuurder waarschijnlijk 2 keer optrekken, remmen en tussendoor een stukje met een constante snelheid rijden.

We gaan dit parcours modelleren met behulp van Voorvallen. We gaan het model van stap (4) zo aanpassen dat er geen conditie meer wordt gebruikt om de versnelling $$$a$$$ te definiëren. Hiervoor moet je aantal stappen nemen:

Als dit gelukt is kun je met behulp van Voorvallen ervoor zorgen dat het $$$vt$$$-diagram overenkomt met onderstaande figuur.

Figuur van een realistisch vt-diagram

Dit kun je bereiken door de versnelling $$$a$$$ in te stellen volgens de tabel hieronder. Voeg hiervoor nog vijf Voorvallen toe: t20, t30, t40, t70 en t80.

Tijd (s) Versnelling (m/s2)
$$$t$$$ > 0 1
$$$t$$$ > 10 0
$$$t$$$ > 20 -1
$$$t$$$ > 30 0
$$$t$$$ > 40 1
$$$t$$$ > 70 0
$$$t$$$ > 80 -1

Laat het model runnen tot $$$t$$$ = 110 s en controleer of het $$$vt$$$-diagram in je model overeenkomt met het parcours in bovenstaande afbeelding. Geef ten slotte het $$$vt$$$-, $$$Pt$$$- en $$$xt$$$-diagram boven elkaar weer.

Zoals je kunt zien is het op $$$t=75$$$ s mogelijk dat de auto met ruim 100 km/h rijdt zonder dat daar vermogen voor nodig is. Dit is natuurlijk niet realistisch. In de komende twee onderdelen ga je daarom wrijving toevoegen aan het model.

6. Rolwrijving

Energieverlies door rolwrijving

Bij een stilstaande auto zijn de banden net niet helemaal rond. Onder het gewicht van de auto worden de banden een heel klein beetje platgedrukt. Zodra de auto gaat rijden, zullen de banden steeds op een andere plek worden platgedrukt. Daarnaast zal tijdens het rijden ook het wegdek voortdurend een klein beetje van vorm worden veranderd. Voor een stalen rails is dit effect minimaal maar voor een auto op een zandweggetje is dit een belangrijke factor. De kracht die nodig is voor deze continue vervorming van de banden en het wegdek wordt rolwrijving genoemd. De rolwrijving, $$$F_{rw}$$$, kan als volgt worden berekend:

$$F_{rw} = F_{N} \cdot c_{rr}$$

Hierin is $$$F_{N}$$$ de normaalkracht (in N) en $$$c_{rr}$$$ de rolwrijvingscoëfficiënt (zonder eenheid). Deze $$$c_{rr}$$$ is afhankelijk van het wegdek en het materiaal van de banden en kan variëren van 0,005 (grote vrachtwagenbanden op asfalt) tot 0,3 (autobanden op asfalt). Het vermogen dat nodig is voor rolwrijving, $$$P_{rw}$$$, is afhankelijke van $$$F_{rw}$$$.

We kunnen het model nu uitbreiden met $$$P_{rw}$$$, het extra vermogen dat nodig is om de rolwrijving te overwinnen. Voeg hiervoor een Constante Rolwrijvingscoëfficiënt van $$$c_{rr} = 0,015$$$ en een Hulpvariabele "Rolwrijving_vermogen" toe. Zorg ervoor dat het $$$P_{rw}$$$ op de goede manier wordt gedefinieerd. Laat vervolgens het $$$vt$$$- en $$$P_{rw}t$$$-diagram boven elkaar zien.

In het model worden nu twee vermogens berekend: vermogen voor optrekken ($$$P_{o}$$$) en vermogen voor rolwrijving ($$$P_{rw}$$$). Het totale vermogen dat nodig is voor de aandrijving van de auto, $$$P_{a}$$$, is de som hiervan.

Breid het model uit met een Hulpvariabele voor de aandrijving $$$P_{a}$$$. Laat ten slotte de diagrammen voor $$$P_{rw}$$$, $$$P_{o}$$$ en $$$P_{a}$$$ boven elkaar zien.

Met het toevoegen van $$$P_{rw}$$$ is het model al een stuk realistischer geworden. De enige situatie waarin er nu geen energie wordt verbruikt is als de auto stilstaat. Alleen de luchtwrijving ontbreekt nog. Daarom wordt in de volgende stap ook deze vorm van wrijving toegevoegd.

7. Luchtwrijving

Energieverlies door luchtwrijving

Het kost moeite om een voorwerp door de lucht te bewegen. Om ruimte te maken voor het voorwerp, moet er namelijk lucht verplaatst worden. Hiervoor moet de lucht eerst in beweging worden gebracht: de lucht moet kinetische energie krijgen. Hoe sneller het voorwerp beweegt, hoe meer kinetische energie de lucht moet krijgen om plaats te maken voor het voorwerp.

De kracht die het kost om een voorwerp door de lucht te bewegen wordt luchtwrijving genoemd en kan als volgt worden berekend:

$$ F_{lw}(t) = \frac{1}{2} \cdot \rho \cdot A \cdot c_{d} \cdot v^{2}(t).$$

Hierin is $$$F_{lw}$$$ de luchtwrijving (in N), $$$\rho$$$ is de dichtheid van de lucht (in kg/m3), $$$A$$$ is het frontale oppervlak van het voorwerp (in m2), $$$c_{d}$$$ is de luchtwrijvingscoëfficiënt (zonder eenheid) en $$$v$$$ is de snelheid van het voorwerp (in m/s).

In deze praktische opdracht wordt voor $$$\rho$$$ een waarde van 1,225 kg/m3 aangenomen. Dit komt ongeveer overeen met de gemiddelde luchtdruk bij 10 ºC. Deze deze waarde wijkt af van BINAS, omdat daar de luchtdichtheid bij 0 ºC wordt gegeven.

Net als bij rolwrijving, is het ook bij luchtwrijving interessant om te weten wat het vermogen is dat op een bepaald moment nodig is om de luchtwrijving te overwinnen.

Breid het model uit met een Constante Oppervlak van $$$A = 3$$$ m2, eenConstante Luchtwrijvingscoëfficiënt van $$$c_{d} = 0,25$$$ en een Hulpvariabele "Luchtwrijving_Vermogen" $$$P_{lw}$$$. Zorg ervoor dat $$$P_{lw}$$$ op de goede manier gedefinieerd wordt en voeg $$$P_{lw}$$$ toe aan de totale aandrijving $$$P_{a}$$$. Laat ten slotte de $$$vt$$$-, $$$P_{lw}$$$-, en $$$P_{a}$$$-diagrammen boven elkaar zien.

8. Overzicht van Aandrijving

Energieverlies door de motor

Het model bevat nu de vermogens voor het optrekken, voor de rolwrijving en voor de luchtwrijving. Deze drie vermogens vormen samen het aandrijfvermogen. Om goed te zien op welke manier de vermogens zich tot elkaar tot het totaal verhouden, is het mooi om ze samen in één figuur weer te geven. Hiervoor kun je bijvoorbeeld de volgende stappen doorlopen:

Dit figuur kan nu gebruikt worden om wat interessante vragen over vervoer te beantwoorden.

Met dit model kan bijna worden berekend wat het brandstofverbruik van een bepaalde auto is. Hiervoor moet nog wel een belangrijke vorm van energieverlies worden toegevoegd: de energieverliezen in de motor.

9. Brandstofgebruik

Energieverlies door de motor

De aandrijving $$$P_{a}$$$ is het vermogen dat door de motor wordt geleverd. Helaas is dit minder dan het vermogen dat door de motor wordt gebruikt in de vorm van brandstof.

In een benzine-auto komt de energie die nodig is voor de aandrijving uit benzine. De benzine wordt verbrand in de motor. Hier wordt de chemische energie van de benzine omgezet in warmte. Door deze warmte zet de lucht in de motor uit waardoor een drukverschil met de buitenlucht ontstaat. Dit drukverschil duwt zuigers heen en weer door cilinders. De zuigers zitten op hun beurt vast aan een aandrijfas. Door de beweging van de zuigers gaat dus ook de aandrijfas draaien. De aandrijfas zit aan de wielen vast dus op deze manier gaan de wielen draaien en komt de auto in beweging.

Bij alle energieomzettingen komt warmte vrij. In sommige gevallen is deze warmte nuttig (bijvoorbeeld in de verwarming om 's winters comfortabel in de auto te kunnen zitten), maar meestal is dit verloren energie. Als een zuiger door een cilinder beweegt, zal de cilinder door wrijving een beetje opwarmen. Deze warmte wordt uiteindelijk aan de buitenlucht afgegeven en draagt dus niet bij aan de aandrijving van de auto.

Een gemiddelde verbrandingsmotor heeft een rendement, $$$\eta$$$, van zo'n 30%. Dat betekent dat voor elke 100 Joule aan brandstof die je tankt, slechts 30 Joule gebruikt worden om de auto aan te drijven. De overige 70 Joule gaat verloren als warmte.

Breid het model uit met een Constante Rendement $$$\eta = 30$$$ % en een Hulpvariabele "Brandstof_Vermogen", $$$P_{b}$$$. Gebruik $$$\eta$$$ en $$$P_{a}$$$ om $$$P_{b}$$$ op de goede manier te definiëren. Maak ten slotte één figuur waarin $$$P_{a}$$$ en $$$P_{b}$$$ samen zijn weergegeven.

Alle parameters die in dit model zijn gebruikt komen aardig overeen met een moderne VW Passat. Deze auto zou volgens de fabrikant ongeveer 20 km moeten rijden op een liter brandstof. Het verschil tussen deze 20 km/L en de 10 km/L die hierboven is berekend zit voornamelijk in het parcours dat in dit model is gebruikt. Om een meer realistische waarde uit het model te krijgen, moet er een meer realistisch parcours worden gebruikt.

10. Officieel testparcours

Voor bijna alle nieuwe auto’s die op de markt komen, wordt het brandstofverbruik en de hoeveelheid uitlaatgassen getest met behulp van de New Europen Driving Cycle (NEDC). De NEDC bestaat uit een stuk stedelijke route dat vier keer wordt gereden en een stuk voor buiten de stad. Hieronder is de totale NEDC weergegeven, met snelheid op de y-as (in km/h) en tijd op de x-as (in s).

NEDC Testroute

Het valt op dat het stedelijke deel relatief veel variatie heeft en een lage gemiddelde snelheid. Het stuk voor buiten de stad heeft minder variatie, maar een hogere snelheid.

Je kan je voorstellen dat het relatief vervelend is om dit parcours grafisch te modelleren met Voorvallen. Voor het eenvoudige testparcours met twee verschillende snelheden zijn al zes Voorvallen nodig. Om NEDC op dezelfde manier te modelleren, zou je er ongeveer 70 nodig hebben. Om toch op een realistische manier het model te testen, moet dus een alternatief gevonden worden. En gelukkig biedt Coach dit alternatief: de Tekstmodus (Het pictogram met "Abc") binnen het Modelvenster.

In de Tekstmodus kunnen Voorvallen geprogrammeerd worden met behulp van tekst. Als je de lijst met $$$vt$$$-datapunten voor de NEDC hebt, is het relatief eenvoudig om automatisch tekst te genereren waar alle Zodra-Doe-EindDoe-oproepen in staan. Deze tekst kun je hier downloaden.

Zodra je dingen aanpast in de Tekstmodus kun je daarna niet meer terug naar de Grafische modus zonder de wijzigingen in het tekstmodel weg te gooien. Het is dus handig om een aparte versie van je model aan te maken voor dit onderdeel. Jouw huidige model moet je ook inleveren, dus daarom is het belangrijk jouw huidige model op te slaan op een usb stick of aan jezelf te mailen.

Pas je model aan door de NEDC Voorvallen toe te voegen in de Tekstmodus. Zorg er ook voor dat je model op het goede moment stopt met runnen, bijvoorbeeld door de stopconditie "$$$t > 1135$$$ s" toe te voegen. Het runnen van het model duurt sowieso even. Stel de beginwaarde van de versnelling goed in: "$$$a := 0$$$". Geef vervolgens in ieder geval het $$$vt$$$-diagram en het $$$P_{b}t$$$-diagram weer. Het kan handig zijn om ook andere diagrammen te bekijken, bijvoorbeeld het diagram "Aandrijving overzicht" dat je in stap 8 gemaakt hebt. Mocht je bij het het maken van een nieuw diagram niet de gewenste variabele kunnen kiezen, kies dan bij Diagram maken/wijzigen bij Verbinding voor Toevoegen… en vul hier de naam van de gewenste variabele in.

Deze laatste waarde ligt al meer rond de 20 km/L. Door de toevoeging van het NEDC parcours kan het model nu dus een realistische schatting doen van het energieverbruik van een auto zonder echte experimenten uit te voeren!

Hieronder kun je nog een samenvatting van het model bekijken. Als je het model goed begrijpt, kun je doorgaan met het volgende onderdeel: de Analyse.

Het kan even duren om de Analyse-pagina te laden, zeker als je een langzame internetverbinding hebt.

Samenvatting model

Zowel het Coach-model als het Mathematica-model zijn gebaseerd op wetten uit de natuurkunde en maken gebruik van wiskundige vergelijkingen. Hieronder wordt de theorie van de verschillende onderdelen samengevat. In deze samenvatting kun je ook stap voor stap bekijken waar de energieverliezen in vervoer optreden.

Versnelling ($$$a$$$), Snelheid ($$$v$$$) en Afgelegde weg ($$$x$$$)

Het parcours dat de auto rijdt wordt gemodelleerd door als gebruiker met Voorvallen in te stellen wat de versnelling moet zijn op elk moment. Op deze manier wordt $$$a(t)$$$ dus vastgezet. De snelheid $$$v(t)$$$ en afgelegde weg $$$x(t)$$$ worden daarna als volgt berekend:

$$ \begin{aligned} v(t) & = \int_{0}^{t} a(\tau) d\tau \quad \textrm{(Opp. onder }at\textrm{-grafiek);}\\ x(t) & = \int_{0}^{t} v(\tau) d\tau \quad \textrm{(Opp. onder }vt\textrm{-grafiek).} \end{aligned} $$

Deze integralen worden in Coach numeriek berekend met behulp van Stromen (Flows):

Flow_1 := v
Flow_2 := a
x := x + Flow_1 * dt
v := v + Flow_2 * dt
t := t + dt

Optrekken ($$$P_{o}$$$)

Het vermogen dat nodig is om een auto op te laten trekken is afhankelijk van de resultante kracht $$$F_{\textrm{res}}$$$ en de snelheid $$$v$$$. De resultante kracht kan berekend worden met behulp van de massa $$$m$$$ en de versnelling $$$a$$$. Uiteindelijk kan $$$P_{o}$$$ als volgt worden berekend:

$$ \begin{aligned} P_{o}(t) & = F_{\textrm{res}}(t) \cdot v(t); \\ & = m \cdot a(t) \cdot v(t). \end{aligned} $$

Om te voorkomen dat een negatieve $$$P_{o}$$$ wordt gemodelleerd alsof er energie terug de benzinetank instroomt, kan de volgende conditie worden toegevoegd: Als $$$a>0$$$ Dan $$$P_{o}=m \cdot a \cdot v$$$ Anders $$$P_{o}=0$$$.

Rolwrijving ($$$P_{rw}$$$)

Het vermogen dat verloren gaat in de vorm van rolwrijving is afhankelijk van de rolwrijvingskracht $$$F_{rw}$$$ en de snelheid $$$v$$$. De $$$F_{rw}$$$ is afhankelijk van de normaalkracht $$$F_{\textrm{N}}$$$ en de rolwrijvingscoëfficiënt $$$c_{rr}$$$. En $$$F_{\textrm{N}}$$$ wordt op een horizontale weg bepaald door massa $$$m$$$ en valversnelling $$$g$$$. Uiteindelijk kan $$$P_{o}$$$ als volgt worden berekend:

$$ \begin{aligned} P_{rw}(t) & = F_{rw} \cdot v(t); \\ & = F_{\textrm{N}} \cdot c_{rr} \cdot v(t); \\ & = m \cdot g \cdot c_{rr} \cdot v(t) \quad \textrm{(op een horizontale weg).} \end{aligned} $$

Luchtwrijving ($$$P_{lw}$$$)

Het vermogen dat verloren gaat in de vorm van luchtwrijving is afhankelijk van de luchtwrijvingskracht $$$F_{lw}$$$ en de snelheid $$$v$$$. De $$$F_{lw}$$$ is afhankelijk van het frontale oppervlak $$$a$$$, de luchtdichtheid $$$\rho$$$, de luchtwrijvingscoëfficiënt $$$c_{d}$$$ en de snelheid $$$v$$$. Uiteindelijk kan $$$P_{lw}$$$ als volgt worden berekend:

$$ \begin{aligned} P_{lw}(t) & = F_{lw} \cdot v(t); \\ & = \frac{1}{2} \cdot A \cdot \rho \cdot c_{d} \cdot v^{2}(t) \cdot v(t); \\ & = \frac{1}{2} \cdot A \cdot \rho \cdot c_{d} \cdot v^{3}(t). \end{aligned} $$

Aandrijving ($$$P_{a}$$$) en Brandstofverbruik ($$$P_{b}$$$)

Het totale vermogen dat nodig is voor de aandrijving van auto is $$$P_{a}$$$ en wordt geleverd door de motor. Hiervoor is brandstofverbruik $$$P_{b}$$$ nodig en dit wordt gebruikt door de motor. Het rendement waarmee de motor het totale verbruikte vermogen omzet in nuttig geleverd vermogen wordt aangeduid met $$$\eta$$$. De vermogens kunnen als volgt worden berekend:

$$ \begin{aligned} P_{a}(t) & = P_{o}(t) + P_{rw}(t) + P_{lw}(t); \\ P_{b}(t) & = \frac{P_{a}(t)}{\eta}. \end{aligned} $$

De totale hoeveelheid energie die nodig om een parcours te rijden, $$$E_{T}$$$, hangt af van $$$P_{b}$$$, de begintijd (meestal $$$t=0$$$) en de eindtijd, $$$t_{f}$$$:

$$ E_{T} = \int_{0}^{t_{f}} P_{b}(t) dt \quad \textrm{(Opp. onder }P_{b}t\textrm{-grafiek).} $$

De afstand die gereden kan worden op een liter brandstof, $$$X_{1L}$$$, is afhankelijk van de totale afgelegde weg ($$$x(t_{f})$$$), het totale brandstofverbruik ($$$E_{T}$$$) en de brandstofdichtheid ($$$\rho_{b}$$$):

$$ X_{1L} = \frac{ x(t_{f}) \cdot \rho_{b}} {E_{T}}. $$

Gebruikte constantes

In het model zijn verschillende constantes gebruikt en deze zijn in onderstaande tabel weergegeven.

Naam Symbool Waarde Eenheid
Verbrandingswarmte $$$\rho_{b}$$$ 34 MJ/L
Rendement motor $$$\eta$$$ 30 %
Frontaal oppervlak $$$A$$$ 3 m2
Luchtdichtheid $$$\rho$$$ 1,225 kg/m3
Luchtwrijvingscoëfficiënt $$$c_{d}$$$ 0,25 -
Massa $$$m$$$ 1500 kg
Rolwrijvingscoëfficiënt $$$c_{rr}$$$ 0,015 -
Stapgrootte $$$dt$$$ 0,01 s
Valversnelling $$$g$$$ 9,81 m/s2